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初中數學二次函數知識點梳理匯總!

2019-09-11 10:31來源:一路商機網1人閱讀

定義與定義表達式

一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大),則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二次函數的三種表達式

一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

頂點式:y=a(x-h)2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

交點式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

h=-b/2a 

k=(4ac-b2)/4a 

x?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a

二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像,可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

2.拋物線有一個頂點P,坐標為:P(-b/2a,(4ac-b2)/4a)。

當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b2-4ac=0時,P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于(0,c)。

6.拋物線與x軸交點個數:

Δ=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

二次函數與一元二次方程

特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax2+bx+c。

當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax2+bx+c=0。

此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函數y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同。

它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

當h>0時,y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到。

當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0,k>0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象。

當h>0,k<0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。

當h

當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。

因此,研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了,這給畫圖象提供了方便。

2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b2]/4a)。

3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減??;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小。

4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|。

當△=0.圖象與x軸只有一個交點;當△

5.拋物線y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。

頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值。6.用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)。

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0)。

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。

7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現。

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